Períodos e algebricidade

Este projeto é dedicado a alguns problemas de algebricidade sobre períodos, reunindo aspectos algebro-geométricos e aritméticos. Períodos são números complexos que se escrevem como integrais de formas diferenciais algébricas. Conjectura-se que períodos são em sua maioria números transcendentes, mas seu estudo é de extrema importância em teoria algébrica dos números, pois eles aparecem como valores especiais de funções L. Gostaríamos de entender, por exemplo, se um dado período é um número algébrico (ou o logaritmo de um número algébrico), as relações algébricas satisfeitas por períodos, “suas simetrias’’, etc. Frequentemente, a relação entre a teoria de períodos com a Geometria Algébrica nos permite apoiar-nos em métodos geométricos para obter resultados aritméticos. Trataremos dos seguintes problemas: (i) valores especiais de funções de Green superiores e a conjectura de Gross-Zagier (em colaboração com Francis Brown); (ii) conjecturas de transcendência sobre períodos univaluados; (iii) interpretação motívica de polilogaritmos elípticos múltiplos (em colaboração com Nils Matthes). Nossa abordagem é essencialmente geométrica e envolverá ferramentas como: cohomologia de Rham algébrica, moduli stacks de curvas elípticas, grupos fundamentais pro-unipotentes, motivos de formas modulares e extensões vetoriais universais de variedades abelianas. (AU)